Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Risposta:

#(0,0)# è un punto di sella

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # e # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # sono massimi locali

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # e # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # sono minimi locali

# (0, pm 1 / sqrt 2) # e # (pm 1 / sqrt 2,0) # sono punti di inflessione.

Spiegazione:

Per una funzione generale #F (x, y) # con un punto stazionario a # (X_0, y_0) # abbiamo l'espansione della serie Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldot #

Per la funzione

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

noi abbiamo

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

È facile vedere che entrambe le prime derivate svaniscono ai seguenti ponrs

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Per esaminare la natura di questi punti stazionari, abbiamo bisogno di guardare il comportamento delle seconde derivate lì.

Adesso

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

e allo stesso modo

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

e

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Quindi per #(0,0)# noi abbiamo # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # e # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - quindi

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Se ti avvicini #(0,0)# lungo la linea # X = y #, questo diventa

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

e così #(0,0)# è ovviamente un minimo se ti avvicini da questa direzione. D'altra parte, se ti avvicini lungo la linea # X = -y # noi abbiamo

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

e così #(0,0)# è un massimo lungo questa direzione, così #(0,0)# è un punto di sella.

Per # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # lo si vede facilmente

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # e # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

che significa che

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Quindi, la funzione diminuisce in qualsiasi modo si allontani da # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # e questo è un massimo locale. Si vede facilmente che lo stesso vale per # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (questo dovrebbe essere ovvio, poiché la funzione rimane la stessa sotto # (x, y) a (-x, -y) #!

Di nuovo, per entrambi # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # e # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # noi abbiamo

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # e # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Quindi, entrambi questi punti sono minimi locali.

I quattro punti # (0, pm 1 / sqrt2) # e # (pm 1 / sqrt2, 0) # sono più problematici - dal momento che tutti i derivati del secondo ordine svaniscono in questi punti. Dobbiamo ora guardare i derivati di ordine superiore. Fortunatamente, non abbiamo davvero bisogno di lavorare molto duramente per questo - i rendimenti dei derivati molto prossimo

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

che è diverso da zero per entrambi # (0, pm 1 / sqrt2) # e # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Ora, questo significa che, per esempio

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

che mostra che questo aumenterà da # f (0,1 / sqrt 2) # in una direzione, e diminuire da essa nell'altra. così # (0,1 / sqrt2) # è un ** punto di flesso. Lo stesso argomento funziona per gli altri tre punti.