Il cerchio A ha un centro in (6, 5) e un'area di 6 pi. Il cerchio B ha un centro in (12, 7) e un'area di 48 pi. I cerchi si sovrappongono?

Risposta:

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # e

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

possiamo creare un triangolo reale con i lati quadrati 48, 6 e 40, quindi questi cerchi si intersecano.

Spiegazione:

Perché il gratuito #pi#?

L'area è #A = pi r ^ 2 # così # R ^ 2 = A / pi. # Quindi il primo cerchio ha un raggio # R_1 = sqrt {6} # e il secondo # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

I centri sono #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # a parte.

Quindi i cerchi si sovrappongono se #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

È così brutto che ti verrebbero perdonati per aver raggiunto la calcolatrice. Ma non è davvero necessario. Facciamo una deviazione e osserviamo come si fa usando Rational Trigonometry. Lì ci occupiamo solo delle lunghezze quadrate, chiamate quadrances.

Diciamo che vogliamo testare se tre quadranti # A, B, C # sono i quadranti tra tre punti collineari, vale a dire #sqrt {A} = sqrt {} B + sqrt {C} # o #sqrt {} B = sqrt {A} + sqrt {C}, # o #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Lo scriveremo come

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

squadratura, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squadrando di nuovo, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Si scopre

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

è un discriminante per triangoli. Abbiamo appena mostrato se #mathcal {A} = 0 # questo significa che abbiamo un triangolo degenerato, formato da tre punti collineari. Se #mathcal {A}> 0 # allora abbiamo un triangolo reale, ogni lato inferiore alla somma degli altri due. Se #mathcal {A} <0 # non abbiamo lati che soddisfino la disuguaglianza del triangolo, e a volte lo chiamiamo un triangolo immaginario.

Torniamo alla nostra domanda armata con il nostro nuovo triangolo discriminante #mathcal {A} #. Se i cerchi si intersecano possiamo creare un triangolo dei due centri e un'intersezione, in modo che i lati abbiano lunghezze # # R_1, # # R_2e la distanza tra i centri #(6,5)# e #(12,7)#. abbiamo

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # quindi abbiamo un triangolo reale, cioè cerchi sovrapposti.

Oh sì, per qualsiasi triangolo #mathcal {A} = 16 (text {area}) ^ 2. #

Controlla: Alfa

Il cerchio A ha un centro in (12, 9) e un'area di 25 pi. Il cerchio B ha un centro in (3, 1) e un'area di 64 pi. I cerchi si sovrappongono?

Sì, per prima cosa dobbiamo trovare la distanza tra i centri dei due cerchi. Questo perché questa distanza è dove i cerchi saranno più vicini, quindi se si sovrappongono sarà lungo questa linea. Per trovare questa distanza possiamo usare la formula della distanza: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Ora dobbiamo trovare il raggio di ogni cerchio. Sappiamo che l'area di un cerchio è pir ^ 2, quindi possiamo usarlo per risolvere per r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64 r

Il cerchio A ha un centro in (3, 5) e un'area di 78 pi. Il cerchio B ha un centro in (1, 2) e un'area di 54 pi. I cerchi si sovrappongono?

Sì. Innanzitutto, abbiamo bisogno della distanza tra i due centri, che è D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 Ora abbiamo bisogno della somma dei raggi, poiché: D> (r_1 + r_2); "Le cerchie non si sovrappongono" D = (r_1 + r_2); "Cerchi appena toccati" D <(r_1 + r_2); "Cerchi sovrapposti" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3,61, quindi i cerchi si sov

Il cerchio A ha un centro in (1, 5) e un'area di 24 pi. Il cerchio B ha un centro in (8, 4) e un'area di 66 pi. I cerchi si sovrappongono?

Sì, i cerchi si sovrappongono. La distanza dal centro del cerchio A al centro del cerchio B = 5sqrt2 = 7.071 La somma dei loro raggi è = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Dio benedica .... Spero che la spiegazione sia utile ..