Il cerchio A ha un centro in (3, 5) e un'area di 78 pi. Il cerchio B ha un centro in (1, 2) e un'area di 54 pi. I cerchi si sovrappongono?

Risposta:

sì

Spiegazione:

Innanzitutto, abbiamo bisogno della distanza tra i due centri, che è # D = sqrt ((DeltaX) ^ 2 + (DeltaY) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Ora abbiamo bisogno della somma dei raggi, poiché:

#D> (r_1 + r_2); "Le cerchie non si sovrappongono" #

# D = (r_1 + r_2); "Cerchi appena toccati" #

#D <(r_1 + r_2); "I cerchi si sovrappongono" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, quindi i cerchi si sovrappongono.

Prova:

graph {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

Risposta:

Questi si sovrappongono se #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Possiamo saltare la calcolatrice e controllare # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # o #4(13)(54) > 11^2# che sicuramente è, quindi sì, si sovrappongono.

Spiegazione:

L'area del cerchio è ovviamente #pi r ^ 2 # quindi dividiamo il gratuito #pi#S.

Abbiamo raggi quadrati

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

e una distanza quadrata tra i centri

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Fondamentalmente vogliamo sapere se # r_1 + r_2 ge d #, cioè se possiamo creare un triangolo su due raggi e il segmento tra i centri.

Le lunghezze quadrate sono tutti interi piacevoli ed è abbastanza folle che tutti cerchiamo istintivamente la calcolatrice o il computer e iniziamo a prendere radici quadrate.

Non è necessario, ma richiede una piccola deviazione. Usiamo la formula di Heron, chiama l'area # # Q.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # dove # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) ((a + b + c) / 2) -a) ((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

È già meglio di Heron. Ma noi continuiamo. Salterò un po 'di noia.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

È molto simmetrico, come ci aspetteremmo per una formula di area. Facciamolo sembrare meno simmetrico. Richiamare

# (c ^ 2 - a ^ 2 b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Aggiunta, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Questa è una formula per l'area quadrata di un triangolo, date le lunghezze quadrate dei lati. Quando questi ultimi sono razionali, lo è anche il primo.

Proviamoci. Siamo liberi di assegnare i lati come preferiamo; per il calcolo a mano è meglio fare # C # il lato più grande, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Ancor prima di calcolarlo, possiamo vedere che abbiamo un positivo # 16Q ^ 2 # quindi un triangolo reale con un'area positiva, quindi cerchi sovrapposti.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Se avessimo ottenuto un valore negativo, un'area immaginaria, questo non è un triangolo reale, quindi cerchi non sovrapposti.