Cos'è un'espansione di Taylor di e ^ (- 2x) centrata su x = 0?

Risposta:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Spiegazione:

Il caso di una serie di Taylor si è espanso intorno #0# è chiamato una serie Maclaurin. La formula generale per una serie Maclaurin è:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Per elaborare una serie per la nostra funzione, possiamo iniziare con una funzione per # E ^ x # e poi usalo per capire una formula per #e ^ (- 2x) #.

Al fine di costruire la serie Maclaurin, abbiamo bisogno di capire l'ennesima derivata di # E ^ x #. Se prendiamo alcuni derivati, possiamo vedere abbastanza rapidamente un modello:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

In effetti, l'ennesima derivata di # E ^ x # è solo # E ^ x #. Possiamo inserirlo nella formula di Maclaurin:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ OOE ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Ora che abbiamo una serie di Taylor per # E ^ x #, possiamo semplicemente sostituire tutto il #X#è con # # -2x per ottenere una serie per #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

che è la serie che stavamo cercando.