Valuta l'integrale indefinito: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

Risposta:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Spiegazione:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Completa il quadrato, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Sostituto # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Sostituto # U = 5sin (v) # e # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Semplificare, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

raffinare, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Prendi la costante, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Applicare le formule a doppio angolo, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Prendi la costante, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrare, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ C #

Sostituire indietro # V = arcsin (u / 5) # e # u = x-5 #

# 25 secondi (arcsin ((x-5) / 5) + annullare (1 / 2sin) (cancel (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ C #

Semplificare, # 25 secondi (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + C #

raffinare, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + C #, dove # C # è la costante di integrazione.

Tadaa: D

Risposta:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Spiegazione:

Cosa è #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Si noti che il dominio della funzione che si sta integrando è dove il quadratico interno è positivo, cioè #x in 0, 10 #

Questa espressione può essere integrata usando le sostituzioni. Sebbene una possibile via per l'integrazione non si presenti immediatamente, se competiamo con il quadrato, allora si può effettuare una sostituzione trigonometrica:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Che, notiamo, è nella classica forma di sostituzione trigonometrica, cioè il quadrato di un numero meno il quadrato di un lineare #X# funzione.

Innanzitutto, per sbarazzarci del lineare, lasciamo #u = x-5 #, che dà # Du = dx #, quindi possiamo riscrivere l'integrale di cui sopra come:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Ora per la seconda sostituzione, lascia #u = 5sintheta #, che cambia l'integrale in:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (possiamo ignorare le parentesi del valore assoluto)

Certo, il # Dx # non sta aiutando, quindi differenziamo l'equazione di sostituzione per ottenere: #du = 5costheta d theta #, quindi l'integrale diventa:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Ora possiamo usare una formula a doppio angolo per fare l'integrazione # cos ^ 2 theta # Più facile:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Quindi l'integrale diventa:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (usando una formula a doppio angolo)

Adesso, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Quindi, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

E, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcoseno ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #