Una palla viene lanciata direttamente da un'altezza di 12 piedi. Quando colpisce il terreno, rimbalza indietro di 1/3 della distanza. Quanto lontano viaggerà la palla (sia verso l'alto che verso il basso) prima che si fermi?

Risposta:

La palla viaggerà 24 piedi.

Spiegazione:

Questo problema richiede la considerazione di serie infinite. Considera il comportamento effettivo della palla:

Prima la palla cade 12 piedi.

Quindi la palla rimbalza #12/3 = 4# piedi.

La palla poi cade i 4 piedi.

Su ogni rimbalzo successivo, la palla viaggia

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # piedi, dove # N # è il numero di rimbalzi

Quindi, se immaginiamo che la palla abbia inizio #n = 0 #, quindi la nostra risposta può essere ottenuta dalla serie geometrica:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Notare la #-12# termine di correzione, questo perché se partiamo da # N = 0 # contiamo un decimo rimbalzo di 12 piedi in su e 12 piedi in giù. In realtà, la palla percorre solo la metà di quella, mentre inizia a mezz'aria.

Possiamo semplificare la nostra somma a:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Questa è solo una semplice serie geometrica, che segue la regola che:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Fintanto che # | R | <1 #

Questo fornisce una soluzione semplice al nostro problema:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# piedi.