Usando http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, come si progetta un insieme di numeri razionali {x} che hanno una rettitudine di milioni di cifre?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Andiamo oltre e progettiamo un set che contiene ogni numero razionale con un repetend con #10^6# cifre.

Avvertenza: Quanto segue è altamente generalizzato e contiene alcune costruzioni atipiche. Può essere fonte di confusione per gli studenti che non sono completamente a loro agio nella costruzione di set.

Per prima cosa, vogliamo costruire l'insieme delle nostre ripetizioni di lunghezza #10^6#. Mentre possiamo iniziare con il set #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# che contiene ogni numero naturale al massimo #10^6# cifre, incontreremmo un problema. Alcuni di questi ripetitori potrebbero essere rappresentati con stringhe più piccole, ad esempio # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #, o # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. Per evitare ciò, per prima cosa definiamo un nuovo termine.

Considera un numero intero #a in 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. Permettere # A_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # essere un #10^6# rappresentazione in cifre di quell'intero, possibilmente con l'interlinea #0#s se #un# ha meno di #10^6# cifre. Chiameremo #un# utile se per ogni vero divisore # M # di #10^6#, #un# non è della forma # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Ora possiamo fare il nostro set di ripetizioni.

Permettere #A = {a in {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: a "è utile"} #

Successivamente, costruiremo il nostro set di cifre decimali iniziali non ripetitive potenziali. Tenendo presente che questo potrebbe anche avere un ruolo guida #0#s, o consistere interamente di #0#s, rappresenteremo i nostri numeri come tuple della forma # (k, b) #, dove #K# rappresenterà la lunghezza della stringa di cifre e # B # rappresenterà il suo valore quando valutato come un intero. Ad esempio, le cifre #00032# vorrei accoppiare con la tupla #(5, 32)#.

Permettere #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Infine, aggiungiamo la nostra parte intera al mix. Nota che a differenza delle parti frazionarie, daremo conto del segno qui e useremo # ZZ # invece di # NN #.

Permettere #C = A xx B xx ZZ #. Questo è, # C # è l'insieme di #3#-tuples # (a, (k, b), c) # tale che, #un# è un numero intero utile al massimo #10^6# cifre, # (k, b) # rappresenta a #K#-cita stringa di cifre il cui valore integrale è # B #, e # C # è un numero intero

Ora che abbiamo set che comprendono tutti i possibili #a, b, c # stringa con le proprietà desiderate, le metteremo insieme usando il modulo costruito nella domanda di riferimento.

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1)):(a, (k, b), c) in C} #

Poi #S sottoinsieme QQ # è l'insieme di numeri razionali con #10^6# cifre ripetute.

Grazie al Sente, la teoria è nella sua risposta.

Per un sottoinsieme della risposta

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I in N # e M una corretta frazione della forma m-digit

numero intero/# 10 ^ m #, #d_ (MSD) # è una cifra più significativa diversa da zero. lsd

significa la cifra meno significativa..

delucidazione:

Sia I = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 e d_ (msd) = 3 #. Nel-

tra i due sono tutti 0..

Poi.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … all'infinito.

Nota la divisione di #10^100001-1=9999…9999#.

Sia il numeratore che il denominatore hanno lo stesso numero di sd.

Sans msd d, d's potrebbe essere qualsiasi #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.