Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Risposta:

Questa funzione ha nessun punto stazionario (sei sicuro che #f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # è quello che volevi studiare ?!).

Spiegazione:

Secondo la definizione più diffusa di punti di sella (punti stazionari che non sono estremi), stai cercando i punti stazionari della funzione nel suo dominio # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) in RR ^ 2} #.

Ora possiamo riscrivere l'espressione data per # F # nel seguente modo: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2y / x #

Il modo per identificarli è cercare i punti che annullano il gradiente di # F #, che è il vettore delle derivate parziali:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Poiché il dominio è un insieme aperto, non è necessario cercare gli estremi che si trovano alla fine sul confine, perché un set aperto non contiene punti di confine.

Quindi calcoliamo il gradiente della funzione:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

Questo è nullo quando le seguenti equazioni sono soddisfatte simultaneamente:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

Possiamo trasformare il secondo in # Y = 1 / (2x ^ 3) # e sostituirlo nel primo per ottenere

# 14x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2 + (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Questo non può essere soddisfatto per #x in RR #, quindi il gradiente non è mai nullo nel dominio. Ciò significa che la funzione non ha punti stazionari!