Quali sono gli estremi locali, se esistono, di f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Risposta:

L'unico estremo è # X = 0,90,322 mila … #, una funzione minima

Ma devi risolvere un'equazione cubica per arrivare lì e la risposta non è affatto 'bella' - sei sicuro che la domanda sia stata digitata correttamente? Ho anche incluso suggerimenti su come affrontare la risposta senza entrare nella quantità di analisi mostrata completamente sotto.

Spiegazione:

1. L'approccio standard ci indica una direzione laboriosa

Per prima cosa calcola la derivata:

#f (x) = (4x-3) ^ 2 (x-4) / x #

così (secondo le regole di catena e quoziente)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (X- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Quindi impostare questo valore su 0 e risolvere per #X#:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Abbiamo un'equazione cubica, che è risolvibile dai radicali, ma questo è lontano da un processo facile. Sappiamo che questa equazione avrà in generale tre radici, ma non che saranno tutte reali, anche se almeno una di esse sarà - che almeno una sarà conosciuta dal Teorema del Valore Intermedio - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - che ci dice che poiché la funzione va all'infinito ad un'estremità e meno l'infinito all'altro, allora deve prendere tutti i valori tra un punto o l'altro.

Trialling alcuni semplici valori (1 è spesso un valore informativo e rapido da provare), vediamo che c'è una radice da qualche parte tra 1/2 e 1, ma non troviamo alcuna soluzione ovvia per semplificare l'equazione con. Risolvere un'equazione cubica è un processo lungo e noioso (che faremo di seguito), quindi vale la pena provare a informare la propria intuizione prima di farlo. Trialling soluzioni ulteriormente, troviamo che è compreso tra 0,9 e 0,91.

2. Risolvi un problema semplificato

La funzione consiste nella differenza di due termini, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # e # F_2 (x) = (x-4) / x #. Per gran parte della gamma di #X#, il primo di questi domini enormemente, poiché il secondo termine sarà vicino a 1 per tutti i valori di #X# lontano da piccoli valori. Chiediamo come si comportano i due termini individuali.

Primo termine, # # F_1

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Imposta questo uguale a zero: # X = 3/4 #. Questo è nella zona dello zero della funzione che abbiamo trovato, ma non è molto vicino ad esso.

#f (1) # è una parabola in #X#, uno che tocca il #X# asse a # X = 3/4 #. La sua derivata è una linea diritta ripida del gradiente 32 che attraversa l'asse x nello stesso punto.

Secondo termine, # # F_2

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Imposta questo uguale a zero: non ci sono soluzioni in #X#. Così # # F_2 non ha extrema come funzione da sola. Tuttavia ha un punto in cui esplode all'infinito: # X = 0 #. Va all'infinito positivo quando si avvicina a 0 dal lato negativo e all'infinito negativo quando si avvicina a 0 dal lato positivo. Lontano da questo punto, la curva tende al valore 1 su entrambi i lati. # # F_2 è un'iperbole centrata su # (X, y) = (0,1) #. La sua derivata è una curva in due parti, per negativo e positivo #X#. Va all'infinito positivo da entrambe le direzioni a # X = 0 # ed è sempre positivo.

Nota che # F_1 ^ '(x) <0 # per tutti #x <0 #. Non ci possono essere intersezioni di # F_1 ^ '# e # F_2 ^ '# sul negativo #X# asse. Oltre il positivo #X# l'asse deve avere esattamente una intersezione - una curva va da meno di 0 a infinito come #X# fa lo stesso mentre l'altro va dall'infinito a 0. Per un'applicazione del Teorema del Valore Intermedio (vedi sopra) devono attraversare esattamente una volta.

Quindi ora siamo certi che stiamo solo cercando una soluzione, ma non abbiamo una buona risposta per questo.

3. Approssimativamente numericamente la risposta

Nelle situazioni professionali che richiedono la soluzione di questi tipi di problemi, spesso il modo più rapido per arrivare dove devi ottenere è eseguire un'approssimazione numerica. Un metodo abbastanza buono per trovare le radici di una funzione è il metodo Newton-Raphson (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Che è: per trovare una radice di una funzione # F #, prima fai una supposizione # # X_0 a una radice e quindi iterare in tondo e in base a questa formula:

# X_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# # X_1 è una supposizione migliore di # # X_0e si ripete semplicemente fino a raggiungere la precisione desiderata.

Ricorda la nostra funzione e la sua derivata:

#f (x) = (4x-3) ^ 2 (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Quindi potremmo indovinare 0.5 come la nostra radice, facendo # X_0 = 0.5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. così # F_1 = 0.5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, anzi una risposta più vicina. La ripetizione ci porta al valore di circa 0.9 sopra menzionato.

Quindi possiamo trovare la risposta con precisione arbitraria, ma la risposta completa richiede una soluzione analitica, qualcosa che abbiamo notato sopra sarebbe difficile. Quindi eccoci qui …

4. Risolvi il problema completo, lentamente e dolorosamente

Ora facciamo la soluzione cubica completa (dovrai amare l'algebra per risolvere correttamente questa situazione):

In primo luogo, dividi per fare in modo che il termine principale abbia il coefficiente 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

In secondo luogo, apportare la seguente sostituzione alla variabile # Y # rimuovere il # X ^ 2 # termine:

Sostituto # X = y + 1/4 °. Più in generale, per un'equazione della forma # Ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, si dovrebbe sostituire # X = y-b / (3a) #. Se lavori attraverso l'algebra, vedrai che questo causa sempre il # X ^ 2 # termine per sparire. In questo caso otteniamo:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Espandi parentesi, ricordando il teorema binomiale:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Si noti che i due # Y ^ 2 # termini esattamente cancellati)

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Ora abbiamo lo stesso numero di termini che avevamo prima, perché in precedenza non avevamo # Y # termine. Perdere il # Y ^ 2 # termine è un profitto matematico, promessa!

Terzo, fai un'altra sostituzione (la sostituzione di Vieta: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) per trasformarla in una quadratica:

Sostituto # Y = w + 1 / (16W) #. Più in generale, per un'equazione della forma # Y ^ 3 + py = q #, questa sostituzione è # Y = w-p / (3W) #.

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (W + 1 / (16W)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16W)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16W-3 / 256w = 5/32 #

(Notare che entrambi # W # e # 1 / w # termini cancellati esattamente)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Ora, potresti chiederti che cosa ne è il vantaggio - abbiamo manipolato la nostra equazione di grado 3 finché non avremo un'equazione di grado 6, sicuramente una perdita … Ma ora possiamo pensarla come un'equazione quadratica nel # W ^ 3 #e possiamo risolvere equazioni di secondo grado …)

In quarto luogo, risolvere l'equazione quadratica per # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Utilizzando l'equazione quadratica:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Abbiamo una risposta! Ora dobbiamo solo ricollegarlo alla nostra variabile originale #X#.

In quinto luogo, riconvertire i termini originali

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Prendi la radice del cubo:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Ricorda come ci siamo relazionati # Y # a # W # in precedenza: # Y = w + 1 / (16W) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Adesso # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Socratic non sembra offrire un opposto meno-più di più-meno, quindi dobbiamo scrivere in questo modo)

così

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Se moltiplichiamo i segni meno nel secondo termine grande, possiamo vedere che otteniamo due espressioni identiche, quindi possiamo rilasciare i segni più / meno quadrati e semplificare

# Y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Infine (!) Ricorda che abbiamo impostato # X = y + 1/4 °.

così

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Sesto, deduci quante di queste radici sono reali

Le due espressioni nelle radici dei cubi hanno ciascuna una radice reale e due radici immaginarie coniugate. Un numero reale #un# ha tre radici cubiche # A ^ (1/3) #, # A ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# A ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Ora sappiamo che entrambe le espressioni all'interno delle radici del cubo sono positive (avviso # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), e quindi i componenti immaginari nel secondo e nel terzo valore per #X# non può sommare a zero.

Conclusione

Quindi c'è solo una vera radice per #X# (come abbiamo concluso molto sopra con un'analisi più semplice), e quindi solo un estremo locale sulla curva che stai chiedendo, dato dall'espressione

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

o, in decimale

# X = 0,90,322 mila … #

Possiamo dedurre che questo è un minimo della funzione dal fatto che esiste un solo estremo e che la funzione tende all'infinito positivo ad entrambe le estremità.