Dimostra che le curve x = y ^ 2 e xy = k sono tagliate ad angolo retto se 8k ^ 2 = 1?

Risposta:

#-1#

Spiegazione:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

le due curve sono

#x = y ^ 2 #

e

#x = sqrt (1/8) / yo x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

per la curva #x = y ^ 2 #, la derivata rispetto a # Y # è # 2y #.

per la curva #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, la derivata rispetto a # Y # è # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

il punto in cui le due curve si incontrano è quando # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

da #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

il punto in cui le curve si incontrano # (1/2, sqrt (1/2)) #

quando #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

il gradiente della tangente alla curva #x = y ^ 2 # è # 2sqrt (1/2) o 2 / (sqrt2) #.

quando #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

il gradiente della tangente alla curva #xy = sqrt (1/8) # è # -2sqrt (1/8) o -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Cerchiamo una condizione di #K# tale che le curve # X = y ^ 2 # e # Xy = k # "tagliare ad angolo retto". Matematicamente questo significa che le curve dovrebbero essere ortogonali, il che a sua volta significa che in tutti i punti le tangenti alle curve a qualunque il punto dato sono perpendicolari.

Se esaminiamo la famiglia di curve per vari valori di #K# noi abbiamo:

Notiamo immediatamente che stiamo cercando un singolo punto in cui la tangente sia perpendicolare, quindi in generale le curve non sono ortogonali in tutti i punti.

Prima cerchiamo di trovare il singolo coordinata, # P #, del punto di intersezione, che è la soluzione simultanea di:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Sostituendo Eq A in B otteniamo:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = radice (3) (k) #

E così stabiliamo le coordinate di intersezione:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Abbiamo anche bisogno dei gradienti delle tangenti a questa coordinata. Per la prima curva:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Quindi il gradiente della tangente, # # M_1, alla prima curva a # P # è:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Allo stesso modo, per la seconda curva:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Quindi il gradiente della tangente, # # M_2, alla seconda curva a # P # è:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Se queste due tangenti sono perpendicolari, allora richiediamo che:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Portando al risultato dato:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

E con questo valore di #K#