Come determinereste l'equazione del cerchio che passa attraverso i punti D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Risposta:

Sostituisci ogni punto all'equazione del cerchio, sviluppa 3 equazioni e sottrai quelle che hanno almeno 1 coordinata comune (#X# o # Y #).

La risposta è:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Spiegazione:

L'equazione del cerchio:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Dove #α# #β# sono le coordinate del centro del cerchio.

Sostituire per ogni punto dato:

Punto D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Equazione 1)

Punto E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Equazione 2)

Punto F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Equazione 3)

Equazioni sottostanti #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Equazioni sottostanti #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Ora che #α# e #β# sono conosciuti, li sostituiscono in uno qualsiasi dei punti (useremo il punto #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Quindi l'equazione del cerchio diventa:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Risposta:

L'equazione del cerchio è # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Spiegazione:

Per prima cosa dobbiamo trovare l'equazione di due linee, ciascuna perpendicolare ai segmenti formati da una coppia di punti dati e passando per il punto medio di questa coppia di punti.

Poiché i punti D ed E (# X_D = x_E = -5 #) sono in una linea parallela all'asse-Y (# X = 0 #) e i punti E e F (# Y_E = y_F = 15 #) sono in una linea parallela all'asse X (# Y = 0 #) è conveniente scegliere queste coppie di punti.

Equazione della linea DE, dove # X_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Equazione della linea 1 perpendicolare a DE e passante per il punto medio #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

Linea 1# -> y = 5 #

Equazione della linea EF, dove # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Equazione della linea 2 perpendicolare a EF e passante per il punto medio #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

linea 2# -> x = 5 #

Combinare le equazioni delle linee 1 e 2 (# Y = 5 # e # X = 5 #) troviamo il centro del cerchio, punto C

#C (5,5) #

La distanza tra il punto C e uno dei punti indicati è uguale al raggio del cerchio

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Nella formula dell'equazione del cerchio:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #