Qual è la somma delle radici dell'equazione 4 ^ x - 3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0?

Data equazione

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

presa # 2 ^ x = y # l'equazione diventa

# => Y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => Y ^ 2-16y-8y + 128 = 0 #

# => Y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (Y-16) (y-8) = 0 #

Così #y = 8 e y = 16 #

quando # Y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

quando # Y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

Quindi le radici sono # 3 e 4 #

Quindi la somma delle radici è #=3+4=7#

Risposta:

#7#

Spiegazione:

Se #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2 (a + b) x + ab #

il #X# coefficiente è la somma delle radici.

Nel # (2 ^ x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # abbiamo quello

#24# è la somma di # # R_1 e # # R_2 così

# (2 ^ x-R_1) (2 ^ x-R_2) = 0 #

Inoltre abbiamo # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # e

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

poi

# R_1 = 2 ^ 3-> x_1 = 3 # e

# R_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # così

# X_1 + x_2 = 7 #