Risposta:
L'equazione della parabola è # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Spiegazione:
Come asse di simmetria # x + y + 1 = 0 # e si concentra su di esso, se l'ascissa di messa a fuoco è # P #, l'ordinata è # - (p + 1) # e le coordinate di messa a fuoco sono # (P, - (p + 1)) #.
Inoltre, la direttrice sarà perpendicolare all'asse di simmetria e la sua equazione sarebbe della forma # x-y + k = 0 #
Poiché ogni punto sulla parabola è equidistante dalla messa a fuoco e dalla direttrice, la sua equazione sarà
# (X-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Questa parabola passa attraverso #(0,0)# e #(0,1)# e quindi
# P ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) e
# P ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Sottraendo (1) da (2), otteniamo
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, che dà # K = -2P-5/2 #
Questo riduce l'equazione della parabola a # (X-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2p-5/2) ^ 2/2 #
e mentre passa attraverso #(0,0)#, noi abbiamo
# P ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # o # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
cioè # 6p = -17/4 # e # P = -17 / 24 #
e quindi # K = -2xx (-17/24) -5/2 = -13 / 12 #
ed equazione di parabola come
# (X + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # e moltiplicando per #576=24^2#, noi abbiamo
o # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12Y-13) ^ 2 #
o # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
o # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
o # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
grafico {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11,42, 8,58, -2,48, 7,52}
