Per favore, qualcuno aiuta a risolvere il problema?

Risposta:

Prova il cambiamento # x = tan u #

Vedi sotto

Spiegazione:

Lo sappiamo # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Con il cambiamento proposto abbiamo

# dx = sec ^ 2u du #. Sostituisce nell'integrale

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

Quindi, annullando la modifica:

# U = arctanx # e finalmente abbiamo

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Risposta:

#color (blu) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Spiegazione:

Proviamo ad usare la Sostituzione trigonometrica per risolvere questo integrale. Per fare ciò costruiremo un triangolo ad angolo retto #Delta ABC # ed etichettiamo i lati in modo tale che usando la formula di Pitagora possiamo ricavare le espressioni che stiamo vedendo nell'argomento dell'integrale come segue:

Angolo # / _ B = theta # ha il lato opposto #X# e il lato adiacente #1#. Usando la formula di Pitagora:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # risultati in:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # come mostrato.

Ora, scriviamo le tre funzioni trigonometriche più basilari per # # Theta:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = x #

Ora dobbiamo usare queste equazioni per risolvere vari argomenti dell'argomento integrale in termini trigonometrici. Usiamo # # Tantheta:

# Tantheta = x #

Prendiamo i derivati di entrambe le parti:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Dal # # Costheta equazione, possiamo risolvere per #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Se eleviamo entrambi i lati di questa equazione alla potenza di #3# noi abbiamo:

# Sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Ora, possiamo sostituire ciò che abbiamo calcolato nel problema integrale per trasformarlo in un integrale trigonometrico:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (red) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (red) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Ora, possiamo sostituire per # # Sintheta e trasformiamo la nostra risposta in un'espressione algebrica in termini di #X#:

#color (blu) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #