Per favore aiuta a risolvere questo, non riesco a trovare una soluzione. La domanda è trovare f? Dato f: (0, + oo) -> RR con f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x in (0, + oo)

Risposta:

#f (x) = lnx + 1 #

Spiegazione:

Abbiamo diviso la disuguaglianza in 2 parti:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Diamo un'occhiata a (1):

Riorganizziamo per ottenere #f (x)> = lnx + 1 #

Diamo un'occhiata a (2):

Assumiamo # Y = x / e # e # X = ye #. Continuiamo a soddisfare la condizione #y in (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= LNY + 1 #

#y inx # così #f (y) = f (x) #.

Dai 2 risultati, #f (x) = lnx + 1 #

Risposta:

Assumi un modulo quindi usa i limiti.

Spiegazione:

Basandoci sul fatto che vediamo che f (x) bounds ln (x), possiamo assumere che la funzione sia una forma di ln (x). Assumiamo una forma generale:

#f (x) = Aln (x) + b #

Collegando le condizioni, questo significa

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Possiamo sottrarre #Aln (x) + b # dall'intera equazione per trovare

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

flipping,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Se vogliamo che questo sia vero per tutti x, vediamo che il limite superiore è una costante e #ln (x) # è illimitato, questo termine chiaramente deve essere 0. Pertanto, A = 1, lasciandoci con

# 1 le b le 1 implica b = 1 #

Quindi abbiamo solo la soluzione con #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #