Qual è la differenza tra: non definito, non esce e infinito?

infinito è il termine che applichiamo ad un valore che è maggiore di qualsiasi valore finito che possiamo specificare.

Per esempio,

#lim_ (xrarr0) 1 / abs (x) #

Indipendentemente dal numero che abbiamo scelto (ad esempio 9,999,999,999), è possibile dimostrare che il valore di questa espressione è maggiore.

non definito significa che il valore non può essere derivato utilizzando regole standard e che non è stato definito come un caso speciale con un valore speciale; in genere ciò si verifica perché non è possibile applicare in modo significativo un'operazione standard.

Per esempio

#27/0#

non è definito (poiché la divisione è definita come l'inverso della moltiplicazione e non vi è alcun valore che quando moltiplicato per #0# sarebbe uguale a #27#).

non esiste può avere tre possibili interpretazioni.

• Un valore può non esiste all'interno di un "Universo del discorso". Per esempio #sqrt (-38) # fa non esiste entro # RR #.
• Un valore può non esiste perché diversi approcci per determinarne il valore danno risultati diversi. Per esempio, #Sigma_ (i = 0) ^ (oo) (-1) ^ i # può essere raggruppato in vari modi per dare un risultato intero.
• Un valore può non esiste perché una soluzione per il valore è logicamente impossibile. Per esempio, la soluzione per #X# nell'equazione # x + 3 = x + 4 #

La differenza tra "indefinito" e "non esiste" è sottile e talvolta irrilevante o inesistente.

La maggior parte delle definizioni da manuale di pendenza di una linea dicono qualcosa come:

La linea attraverso i punti # (x_1, y_1) # e # (x_2, y_2) # è il rapporto:

# m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) #.

Questa definizione lascia implicitamente la pendenza della linea attraverso i punti # (x_1, y_1) # e # (x_1, y_2) # non definito. Ma ciò significa anche che la pendenza di una tale linea non esiste.

Probabilmente sosterrò che le cose che non sono definite non esistono.

(O forse non lo farei, vedere i commenti di Alan P e le mie risposte).

Un'analogia:

Posso dirti cos'è un unicorno o un bigfoot. Sono definiti. Ma loro non esistono. (Se a qualcuno non piacciono i miei esempi, scegli qualsiasi altra bestia o essere quella che puoi definire, ma che consideri puramente mitologica.)

Il jabberwocky non è definito e anche non esiste.

(Nemmeno le cianfrusaglie, né le strofe). Queste parole provengono dal poema di Lewis Carrol, Jabberwocky. Se non l'hai letto, trovalo online e leggilo.

Matematica

Sono disposto a intrattenere l'idea che io possa definire la derivata di # # Absx a # X = 0 #. È #lim_ (hrarr0) (abs (0 + h) -abs0) / h #. Tuttavia, tale limite non esiste. (Stai attento però, lo sono non affermando che esiste un limite inesistente).

L'infinito è usato in modi diversi in contesti diversi dentro e fuori la matematica.

Insegno ai miei studenti che nel calcolo, nella scrittura

'#lim_ (xrarr0) 1 / (x ^ 2) = oo #'

è un modo conveniente di scrivere

'#lim_ (xrarr0) 1 / (x ^ 2) # non esiste perché come #X# approcci #0#, # 1 / x ^ 2 # aumenta senza vincoli"

E scrivendo "#lim_ (xrarroo) (3x + 7) / (5x + 2) = 3/5 #"significa che", come #X# aumenta senza vincoli # (3x + 7) / (5x + 2) # approcci #3/5#

Nella notazione a intervalli: # 3, oo) # è un modo di esprimere che l'intervallo include il suo endpoint sinistro (cioè #3#) ma l'intervallo non ha un punto finale corretto. (La notazione ha l'infinito nella posizione che occuperebbe un punto finale destro, se ce ne fosse uno, ma in questo contesto, il simbolo indica che l'intervallo sulla linea numerica non ha un punto finale destro.

Mi dispiace essere così prolisso, ma ho una visione precisa che non riesco a spiegare in poche frasi.

Punto aggiuntivo:

La soluzione a # X + 3 = x + 4 # non esiste. Possiamo discutere se è definito.

Non è certamente "infinito"