Come risolvere l'equazione differenziale separabile e trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y (-4) = 3?

Risposta:

Soluzione Generale: #color (rosso) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Particolare soluzione: #color (blu) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Spiegazione:

Dalla data equazione differenziale #y '(x) = sqrt (4y (x) 13) #

prendi nota, quello #y '(x) = dy / dx # e #y (x) = y #, perciò

# Dy / dx = sqrt (4y + 13) #

dividere entrambi i lati per #sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Moltiplicare entrambi i lati per # Dx #

# Dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / annullare (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# Dy / sqrt (4y + 13) = dx #

trasporre # Dx # sul lato sinistro

# Dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

integrando su entrambi i lati abbiamo i seguenti risultati

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (rosso) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Soluzione generale

Ma #y (-4) = 3 # significa quando # x = -4 #, # Y = 3 #

Ora possiamo risolvere # # C_1 risolvere per la soluzione particolare

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) 13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Pertanto, la nostra soluzione particolare è

#color (blu) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Dio benedica …. Spero che la spiegazione sia utile.

Risposta:

# Y = x ^ 2 + 13x + 36 #, con #y> = - 13/4 #.

Spiegazione:

#y> = - 13/4 #, fare #sqrt (4y + 13) # vero..

riordinando, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Così, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

utilizzando #y = 3, quando x = -4, C = -`13 / 2 #

Così. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Inversamente. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #

Per condurre un esperimento scientifico, gli studenti devono mescolare 90 ml di una soluzione acida al 3%. Hanno una soluzione disponibile all'1% e al 10%. Quanti ml della soluzione all'1% e della soluzione al 10% dovrebbero essere combinati per produrre 90 ml della soluzione al 3%?

Puoi farlo con i rapporti. La differenza tra l'1% e il 10% è 9. Devi salire dall'1% al 3% - una differenza di 2. Quindi devono essere presenti 2/9 delle cose più forti, o in questo caso 20mL (e di corso 70 ml di roba più debole).

Qual è una soluzione particolare all'equazione differenziale (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) eu (0) = - 5?

U ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C che applica la IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C implica C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25

Risolvi l'equazione differenziale: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Spiega che tipo di equazione differenziale è questa e quando può sorgere?

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y meglio scritto come (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangolo che mostra che questa è un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine lineare ha un'equazione caratteristica r ^ 2 -8 r + 16 = 0 che può essere risolta come segue (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 questa è una radice ripetuta quindi la soluzione generale è in forma y = (Ax + B) e ^ (4x) non è oscillante e modella un qualche tipo di comportamento esponenziale che dipende in realtà dal valore di A e B. Si potrebbe pensare che potrebbe essere un ten