Risolvi l'equazione differenziale: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Spiega che tipo di equazione differenziale è questa e quando può sorgere?

Risposta:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Spiegazione:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

meglio scritto come

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

che mostra che questa è un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine

ha un'equazione caratteristica

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

che può essere risolto come segue

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

questa è una radice ripetuta, quindi la soluzione generale è in forma

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

questo non è oscillante e modella un qualche tipo di comportamento esponenziale che dipende in realtà dal valore di A e B. Si potrebbe supporre che potrebbe essere un tentativo di modellizzare l'interazione tra popolazione o predatore / preda, ma non posso dire nulla di molto specifico.

mostra instabilità e questo è tutto ciò che potrei davvero dire al riguardo

Risposta:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Spiegazione:

L'equazione differenziale

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

è un'equazione di coefficiente costante omogeneo lineare.

Per quelle equazioni la soluzione generale ha la struttura

#y = e ^ {lambda x} #

Sostituendo noi abbiamo

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Qui # e ^ {lambda x} ne 0 # quindi le soluzioni devono obbedire

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Risolvendo otteniamo

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Quando le radici si ripetono, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # è anche una soluzione. In caso di # N # radici ripetute, avremo come soluzioni:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # per # I = 1,2, cdots, n #

Quindi, per mantenere il numero di condizioni iniziali, le includiamo come soluzioni indipendenti.

In questo caso abbiamo

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

quale risulta in

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Queste equazioni appaiono quando si modellano sistemi di parametri lineari e concentrati come quelli che si trovano nella teoria dei circuiti lineari o nella meccanica lineare. Queste equazioni vengono normalmente gestite utilizzando metodi algebrici operativi come i metodi di trasformazione di Laplace