Mostra che l'equazione x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 ha esattamente una soluzione su [0, 1]?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Prima di tutto, calcoliamo #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # al confine del nostro dominio:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Se calcoliamo la derivata

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Possiamo vedere che è sempre positivo in #0,1#. Infatti, # X ^ 2 + 1 # è sempre positivo, e # # 4x è ovviamente positivo, da allora #X# è positivo

Quindi, la nostra funzione inizia sotto il #X# asse, dal #f (0) <0 #e finisce sopra il #X# asse, dal #f (1)> 0 #. La funzione è un polinomio, quindi è continua.

Se una linea continua inizia sotto l'asse e finisce sopra, significa che deve averlo attraversato da qualche parte nel mezzo. E il fatto che la derivata sia sempre positiva significa che la funzione è sempre in crescita e quindi non può attraversare l'asse due volte, quindi la dimostrazione.