Domanda n. 242a2

Risposta:

Per l'energia immagazzinata nel condensatore al momento # T # noi abbiamo #E (t) == E (0) exp (-2T / (CR)) # dove #E (0) # è l'energia iniziale, # C # la capacità e # R # la resistenza del filo che collega i due lati del condensatore.

Spiegazione:

Esaminiamo prima alcuni concetti chiave prima di rispondere a questa domanda. Ovviamente abbiamo bisogno di conoscere l'energia immagazzinata nel condensatore, o meglio l'energia immagazzinata nel campo elettrico creato dalla carica immagazzinata nel condensatore. Per questo abbiamo la formula # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # con # C # la capacità del condensatore e # # Q la carica immagazzinata su una delle piastre dei condensatori. 1

Quindi, per sapere come diminuisce l'energia, dobbiamo sapere come la carica diminuisce. Per questo ci sono alcune cose che dovremmo tenere a mente. La prima cosa è che la carica può diminuire solo se può andare ovunque. Lo scenario più semplice è che le due piastre siano collegate tramite un filo, in modo che le piastre possano scambiarsi la carica in modo che diventino neutre. La seconda cosa è che se supponessimo che il filo non avesse resistenza, la carica sarebbe in grado di muoversi istantaneamente, quindi l'energia scenderà a zero anche a quel ritmo. Poiché questa è una situazione noiosa, e inoltre, non proprio realistica, ipotizziamo che il filo abbia qualche resistenza # R #, che possiamo modellare collegando le piastre dei condensatori attraverso un resistore con resistenza # R # utilizzando fili senza resistenza.

Quello che ora abbiamo è un cosiddetto circuito RC, visto sotto. Per scoprire come cambia la carica immagazzinata, abbiamo bisogno di annotare alcune equazioni differenziali. Non sono sicuro di quanto sia competente il lettore in matematica, quindi per favore fatemi sapere se la sezione seguente non è chiara per voi, e cercherò di spiegarlo in modo più dettagliato.

Prima di tutto notiamo che quando camminiamo lungo il filo, sperimentiamo il potenziale elettrico di due salti (tensione), vale a dire sul condensatore e sul resistore. Questi salti sono dati da # DeltaV_C = Q / C # e # DeltaV_R = IR # rispettivamente 1. Notiamo che inizialmente non c'è corrente, quindi la differenza di potenziale sul resistore è 0, tuttavia, come vedremo, ci sarà una corrente quando le cariche iniziano a muoversi. Ora notiamo che quando giriamo attorno al circuito partendo da un punto, finiremo di nuovo nello stesso punto, perché siamo su un circuito. A questo punto, il potenziale è lo stesso entrambe le volte, perché è lo stesso punto. (Quando dico che camminiamo lungo il circuito, non intendo questo letteralmente, piuttosto ispezioniamo i salti di tensione sul circuito ad un certo punto nel tempo, quindi non passa il tempo camminando lungo il circuito, quindi l'argomento vale, anche se la tensione cambia nel tempo.)

Ciò significa che il salto potenziale totale è zero. Così # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Ora pensiamo a cosa #IO#, la corrente è. La corrente è carica in movimento, prende la carica positiva lontano da una piastra del condensatore e fornisce l'altra all'altra. (In realtà il più delle volte è il contrario, ma non importa per la matematica di questo problema.) Ciò significa che la corrente equivale al cambio di carica sui piatti, in altre parole # I = (DQ) / dt #. Sostituendo questo nell'equazione sopra ci dà # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, che significa # (DQ) / dt = -Q / (CR) #. Questa è una cosiddetta equazione differenziale del primo ordine lineare. Determina il cambiamento della carica in base al valore della carica in quel momento in modo lineare, nel senso che se la carica fosse due volte più grande, il cambio di carica sarebbe anche il doppio. Possiamo risolvere questa equazione con un uso intelligente del calcolo.

# (DQ) / dt = -Q / (CR) #, assumiamo # # Qne0, che inizialmente non è, e come sarà, non lo sarà mai. Usando questo possiamo dire # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Sapere # # Q ad un certo punto nel tempo # T # (in altre parole #Q (t) #, integriamo l'equazione come segue: # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (DQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # da # C # e # R # sono costanti. # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (DQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (DQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # tramite il cambiamento delle variabili. Questo significa #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, così #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Infine, dobbiamo sostituire questo in equazione per l'energia:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2T / (CR)) = E (0) exp (-2T / (CR)) #.

Quindi l'energia cade esponenzialmente nel tempo. In effetti vediamo che se # R # dovevano andare a zero, #E (t) # andrebbe a 0 all'istante.

1 Griffiths, David J. Introduzione all'elettrodinamica. Quarta edizione. Pearson Education Limited, 2014