Qual è la serie di Taylor di f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Vediamo alcuni dettagli.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Ricorda che le serie di potenze geometriche

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

sostituendo #X# di # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Così, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Integrando, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

inserendo il segno integrale all'interno della somma, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

per Power Rule, # = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Da #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Quindi, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Il termine r _ ("th") di una serie geometrica è (2r + 1) cdot 2 ^ r. La somma del primo n periodo della serie è cosa?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Controlliamo S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0) = 1

U_1, u_2, u_3, ... sono in progressione geometrica (GP). Il comune rapporto tra i termini della serie è K. Ora determina la somma della serie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) sotto forma di K e u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Il termine generale di una progressione geometrica può essere scritto: a_k = ar ^ (k-1) dove a è il termine iniziale e r il rapporto comune. La somma in n termini è data dalla formula: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) colore (bianco) () Con le informazioni fornite nella domanda, la formula generale per u_k può essere scritto: u_k = u_1 K ^ (k-1) Nota che: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Quindi: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = somma_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) colore (bianco) (somma_ (k = 1) ^ n u_k u_

Come si trova una rappresentazione in serie di potenze per (arctan (x)) / (x) e qual è il raggio di convergenza?

Integrare la serie di potenze della derivata di arctan (x) quindi dividere per x. Conosciamo la rappresentazione della serie di potenze di 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx tale che absx <1. So 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Quindi la serie di potenze di arctan (x) è intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Si divide per x, si scopre che la serie di potenze di arctan (x) / x è sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Diciamo u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Per trovare il raggio di convergenza di questa serie di potenze,