U_1, u_2, u_3, ... sono in progressione geometrica (GP). Il comune rapporto tra i termini della serie è K. Ora determina la somma della serie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) sotto forma di K e u_1?

Risposta:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Spiegazione:

Il termine generale di una progressione geometrica può essere scritto:

#a_k = a r ^ (k-1) #

dove #un# è il termine iniziale e # R # il rapporto comune.

La somma a # N # termini è data dalla formula:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#colore bianco)()#

Con le informazioni fornite nella domanda, la formula generale per #UK# può essere scritto:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Nota che:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Così:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (bianco) (somma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = somma_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (bianco) (somma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = somma_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # dove # = Un U_1 ^ 2K # e #r = K ^ 2 #

#color (bianco) (somma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (bianco) (somma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #