Risposta:
La linea tangente è parallela al #X# asse quando la pendenza (quindi # Dy / dx #) è zero ed è parallelo al # Y # asse quando la pendenza (di nuovo, # Dy / dx #) va a # Oo # o # # -Oo
Spiegazione:
Inizieremo trovando # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Adesso, # dy / dx = 0 # quando il nuimeratore è #0#, a condizione che ciò non faccia anche il denominatore #0#.
# 2x + y = 0 # quando #y = -2x #
Abbiamo ora due equazioni:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Risolvi (per sostituzione)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
utilizzando #y = -2x #, noi abbiamo
La tangente alla curva è orizzontale nei due punti:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # e # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Osserva che queste coppie non fanno anche il denominatore di # Dy / dx # uguale a #0#)
Per trovare i punti in cui la tangente è verticale, rendi il denominatore di # Dy / dx # uguale tpo #0# (senza fare anche il numeratore #0#).
Potremmo passare attraverso la soluzione, ma la simmetria dell'equazione che otterremo:
# X = -2y #, così
#y = + - sqrt21 / 3 #
e i punti sulla curva a cui la tangente è verticale sono:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # e # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
A proposito. Poiché abbiamo la tecnologia, ecco il grafico di questa ellisse ruotata: (Nota # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # che puoi vedere sul grafico.)
grafico {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Risposta:
Uso solo la matematica della scuola media
Tangenti parallele all'asse x a:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) e (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangenti parallele all'asse y in:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) e (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Spiegazione:
Lanciai un'occhiata alla risposta di Jim, che sembra un bel trattamento standard di calcolo. Ma non potevo fare a meno di sentirmi triste per tutti i liceali là fuori in terra socratica che vogliono trovare tangenti di curve algebriche ma sono ancora lontani dal calcolo.
Fortunatamente possono fare questi problemi usando solo Algebra I.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Questo potrebbe essere un po 'complicato per un primo esempio, ma andiamo con esso. Scriviamo la nostra curva come #f (x, y) = 0 # dove
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Prendiamo # (R, s) # come un punto # F #. Vogliamo investigare # F # vicino # (R, s) # così scriviamo
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Ci espandiamo, ma non espandiamo i termini di differenza # x-R # e # Y-s #. Vogliamo mantenere quelli intatti in modo che possiamo sperimentare con l'eliminazione di alcuni più tardi.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Abbiamo detto # (R, s) # è acceso # F # così #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Abbiamo ordinato i termini per grado e possiamo sperimentare con approssimazioni a # F # vicino # (R, s) # facendo cadere i gradi più alti. L'idea è quando # (X, y) # è vicino # (R, s) # poi # x-R # e # Y-s # sono piccoli, e i loro quadrati e prodotti sono ancora più piccoli.
Facciamo solo alcune approssimazioni a # F #. Da # (R, s) # è sulla curva, l'approssimazione costante, lasciando cadere tutti i termini di differenza, è
# f_0 (x, y) = 0 #
Non è particolarmente eccitante, ma ci dice correttamente i punti vicino # (R, s) # darà un valore vicino allo zero per # F #.
Diventiamo più interessanti e manterremo i termini lineari.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Quando impostiamo questo valore su zero, otteniamo la migliore approssimazione lineare per # F # vicino # (R, s), # qual è linea tangente a # F # a # (R, s). # Ora stiamo andando da qualche parte.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Possiamo considerare anche altre approssimazioni:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Queste sono tangenti di ordine superiore, quelle che gli studenti di matematica del college difficilmente riescono a raggiungere. Abbiamo già superato il calcolo del college.
Ci sono più approssimazioni, ma sono avvisato che questo sta diventando lungo. Ora che abbiamo imparato a fare il calcolo usando solo Algebra I, facciamo il problema.
Vogliamo trovare i punti in cui la linea tangente è parallela al #X# asse e # Y # asse.
Abbiamo trovato la nostra linea tangente a # (R, s) # è
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Parallelamente al #X# asse significa un'equazione #y = testo {costante} #. Quindi il coefficiente su #X# deve essere zero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # è sulla curva così #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Da # S = -2R # i punti sono
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) e (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Similmente parallelo ai mezzi dell'asse y # 2s + r = 0 # che dovrebbe semplicemente scambiare xey a causa della simmetria del problema. Quindi gli altri punti sono
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) e (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Dai un'occhiata.
Come controllare? Facciamo una trama Alpha.
trama x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Sembra buono. Calcolo su curve algebriche. Abbastanza bene per la scuola media.
