Qual è la radice quadrata di 5?

La radice quadrata di #5# non può essere padre semplificato di quanto lo sia già, quindi ecco # # Sqrt5 con dieci cifre decimali:

# Sqrt5 ~~ 2,2360,679775 millions … #

Risposta:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # è un numero irrazionale.

Spiegazione:

Tutti i numeri positivi hanno normalmente due radici quadrate, una positiva e una negativa della stessa dimensione. Indichiamo la radice quadrata positiva (a.k.a. principal) di # N # di #sqrt (n) #.

Una radice quadrata di un numero # N # è un numero #X# così # x ^ 2 = n #. Quindi se # x ^ 2 = n # poi anche # (- x) ^ 2 = n #.

Tuttavia, l'uso popolare è che "la radice quadrata" si riferisce a quella positiva.

Supponiamo di avere un numero positivo #X# che soddisfa:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Quindi moltiplicando entrambi i lati per # (2 + x) # noi abbiamo:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Quindi sottraendo # # 2x da entrambi i lati otteniamo:

# X ^ 2 = 5 #

Quindi abbiamo trovato:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Dato che questa frazione continua non termina, possiamo dirlo #sqrt (5) # non può essere rappresentato come una frazione terminale, cioè un numero razionale. Così #sqrt (5) # è un numero irrazionale un po 'più piccolo di #2 1/4 = 9/4#. Per una migliore approssimazione razionale puoi terminare la frazione continua dopo più termini.

Per esempio:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Disimballare queste frazioni continue può essere un po 'noioso, quindi generalmente preferisco usare un metodo diverso, vale a dire il rapporto di limitazione di una sequenza intera definita in modo ricorsivo.

Definisci una sequenza di:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

I primi termini sono:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Il rapporto tra i termini tenderà a # 2 + sqrt (5) #.

Quindi troviamo:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #