Il 20% dei clienti di un grande salone di parrucchieri sono donne. In un campione casuale di 4 clienti, qual è la probabilità che esattamente 3 clienti siano di sesso femminile?

Risposta:

# 4 cdot (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Spiegazione:

Potremmo essere tentati di elencare tutti i possibili risultati e calcolare le loro probabilità: dopo tutto, se dobbiamo campionare #3# femmine # F # su quattro clienti, le possibilità sono

# (F, F, F, M), (F, F, M, F), (F, M, F, F), (M, F, F, F) #

Ogni cliente è femmina con probabilità #0.2#e quindi maschio con probabilità #0.8#. Quindi, ogni quadrupolo che abbiamo appena scritto ha probabilità

# 0.2 cdot0.2 cdot0.2 cdot0.8 = (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Dal momento che abbiamo quattro eventi con tale probabilità, la risposta sarà

# 4 cdot (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Ma cosa succede se i numeri erano molto più grandi? Elencare tutti gli eventi possibili diventerebbe rapidamente cumberstone. Ecco perché abbiamo modelli: questa situazione è descritta da un modello bernoulliano, il che significa che se vogliamo raggiungere #K# successi in # N # esperimenti con probabilità di successo # P #, allora la nostra probabilità è

#P = ((n), (k)) p ^ k (1-p) ^ {n-k} #

dove

# ((n), (k)) = frac {n!} {k! (n-k)!} # e # N! = n (n-1) (n-2) … 3 cdot2 #

In questo caso, # N = 4 #, # K = 3 # e # P = 0.2 #, così

#P = ((4), (3)) 0.2 ^ 3 (0.8) = 4 cdot0.2 ^ 3 (0.8) #