Qual è l'integrale di e ^ (x ^ 3)?

Non è possibile esprimere questo integrale in termini di funzioni elementari.

A seconda di cosa è necessaria l'integrazione, è possibile scegliere una modalità di integrazione o un'altra.

Integrazione tramite serie di potenze

Richiama questo # E ^ x # è analitico #mathbb {R} #, così #forall x in mathbb {R} # la seguente uguaglianza vale

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+} infty x ^ n / {n!} #

e questo significa che

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Ora puoi integrare:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (somma_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + somma_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integrazione tramite la funzione gamma incompleta

Primo, sostituto # T = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

La funzione # E ^ {x ^ 3} # è continuo. Ciò significa che le sue funzioni primitive sono #F: mathbb {R} a mathbb {R} # così

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

e questo è ben definito perché la funzione #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # è tale che per #t a 0 # Tiene #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, così che l'integrale improprio # int_0 ^ s f (t) dt # è finito (chiamo # s = y ^ 3 #).

Quindi hai questo

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Osservalo #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Questo significa che per #t a + infty # abbiamo capito #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, così che # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Quindi seguendo l'integrale improprio di #f (t) # è finito:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Possiamo scrivere:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

questo è

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Alla fine arriviamo

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #