Qual è l'integrale di (ln (xe ^ x)) / x?

Risposta:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Spiegazione:

Ci viene dato:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

utilizzando #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

utilizzando #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

utilizzando #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Dividere la frazione (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Separazione degli integrali sommati:

# = Int # #ln (x) / xdx + int dx #

Il secondo integrale è semplicemente #x + C #, dove # C # è una costante arbitraria. Il primo integrale, usiamo # U #-sostituzione:

Permettere #u equiv ln (x) #quindi #du = 1 / x dx #

utilizzando # U #-sostituzione:

# = int udu + x + C #

Integrazione (la costante arbitraria # C # può assorbire la costante arbitraria del primo integrale indefinito:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Sostituire in termini di #X#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Risposta:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Spiegazione:

Iniziamo utilizzando la seguente identità logaritmica:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Applicando questo all'integrale, otteniamo:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Per valutare l'integrale rimanente, utilizziamo l'integrazione per parti:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

lascerò #f (x) = ln (x) # e #G '(x) = 1 / x #. Possiamo quindi calcolare che:

#f '(x) = 1 / x # e #G (x) = ln (x) #

Possiamo quindi applicare l'integrazione per formula delle parti per ottenere:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Poiché abbiamo l'integrale su entrambi i lati del segno di uguale, possiamo risolverlo come un'equazione:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Ricollegando l'espressione originale, otteniamo la nostra risposta finale:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione u = sqrt (2x-1). La derivata è quindi (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è uguale a moltiplicare per il solo denominatore) per integrare rispetto a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere x ^ 2 in termini d

Qual è l'integrale di int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Per prima cosa sostituiamo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Esegui un seconda sostituzione: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Dividi usando le frazioni parziali: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Ora

Qual è la differenza tra un antiderivato e un integrale?

Non ci sono differenze, le due parole sono sinonimi.