Qual è la forma standard dell'equazione di un cerchio che passa attraverso (0, -14), (-12, -14) e (0,0)?

Risposta:

Un cerchio di raggio #sqrt (85) # e centro #(-6,-7)#

L'equazione della forma standard è: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

O, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Spiegazione:

L'equazione cartesiana di un cerchio con centro # (A, b) # e raggio # R # è:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Se il cerchio passa attraverso (0, -14), allora:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Se il cerchio passa attraverso (0, -14), allora:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Se il cerchio passa attraverso (0,0), allora:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Ora abbiamo 3 equazioni in 3 incognite

Eq 2 - Eq 1 fornisce:

# (12 + a) ^ 2 -a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

sottotitoli # A = 6 # in Eq 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

sottotitoli # A = 6 # e # R ^ 2 = 36 + b ^ 2 #in Eq 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

E infine, Subs # B = -7 # in Eq 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

E così l'equazione del cerchio è

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Che rappresenta un cerchio di raggio #sqrt (85) # e centro #(-6,-7)#

Possiamo moltiplicare se richiesto per ottenere:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #