Come si semplifica root3 (1)?

Risposta:

#1# o #1^(1/3)# =#1#

Spiegazione:

La radice cubata di 1 equivale a innalzare 1 alla potenza di #1/3#. 1 al potere di qualsiasi cosa è ancora 1.

Risposta:

Lavoriamo nei reali che otteniamo #root 3 {1} = 1 #.

Ogni numero complesso diverso da zero ha tre radici cubiche, quindi lì

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Spiegazione:

Se stiamo lavorando in numeri reali, ci limitiamo a notare #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Presumo che si tratti di numeri complessi.

Una delle cose strane che scopriamo quando ci addentriamo nei numeri complessi è quella della funzione #f (z) = e ^ {z} # è periodico La crescita esponenziale è una sorta di opposto di periodica, quindi questa è una sorpresa.

Il fatto fondamentale è l'identità di Eulero al quadrato. Lo chiamo La vera identità di Eulero.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

La vera identità di Eulero mostra # E ^ z # è periodico con periodo # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Possiamo aumentare la vera identità di Eulero a qualsiasi potere intero #K#:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Cosa c'entra tutto questo con la radice cubica di uno? È la chiave. Indica che ci sono un numero infinitamente numerabile di modi di scriverne uno. Alcuni di loro hanno radici cubiche differenti rispetto ad altri. È per questo che gli esponenti non interi danno origine a più valori.

Questo è tutto un gran colpo. Di solito inizio solo scrivendo:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # per intero #K#

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

L'ultimo passo è ovviamente la Formula di Eulero # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Dal momento che abbiamo il # # 2pi periodicità delle funzioni trigonometriche (che segue dalla periodicità dell'esponenziale e della Formula di Eulero) abbiamo solo valori unici per tre consecutive #K#S. Valutiamo questo per # K = 0,1, -1 #:

#K#=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

#K#=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

#K#=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Quindi otteniamo tre valori per la radice cubica di uno:

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #