Intervallo di e ^ x / ([x] +1), x> 0 e dove [x] denota il più grande intero?

Risposta:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Spiegazione:

Presumo #X# è il più piccolo intero più grande di #X#. Nella risposta seguente, useremo la notazione #ceil (x) #, chiamato la funzione del soffitto.

Permettere #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Da #X# è strettamente più grande di #0#, questo significa che il dominio di # F # è # (0, + oo) #.

Come #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # e da allora # E ^ x # è sempre positivo, # F # è sempre strettamente più grande di #0# nel suo dominio. È importante notare che # F # è non iniettiva e non è anche continua ai numeri naturali. Per dimostrarlo, lascia # N # essere un numero naturale:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Perché #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Allo stesso modo, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Poiché i limiti sinistro e destro non sono uguali, # F # non è continuo ai numeri interi. Anche, #L> R # per tutti #n in NN #.

Come # F # sta aumentando in intervalli delimitati dagli interi positivi, i "valori più piccoli" per intervallo saranno come #X# si avvicina al limite inferiore da destra.

Quindi, il valore minimo di # F # sarà

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Questo è il limite inferiore dell'intervallo # F #.

Mentre non è veramente corretto dirlo # F # è in aumento, è nel senso, asintoticamente, si avvicina all'infinito - come dimostrato di seguito:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Come #ceilx> = x #, esiste un #delta <1 # così # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Permettere #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # aumenta esponenzialmente mentre # U # lo fa in modo lineare, intendendo questo

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Pertanto la gamma di # F # è

# "Intervallo" = (1/2, oo) #

L'intervallo è aperto a sinistra perché #http: // 2 # è ancora #f (0) #, e come #X# approcci #0^+#, #f (x) # solo approcci #http: // 2 #; non è mai veramente uguale.