Come risolvere inte ^ xcosxdx?

Risposta:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Spiegazione:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Useremo l'integrazione per parti, che lo afferma #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Utilizzare l'integrazione per parti, con # U = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, e # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Utilizzare l'integrazione di parti nuovamente nel secondo integrale, con # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, e # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Ora, ricorda che abbiamo definito # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Pertanto, l'equazione di cui sopra diventa la seguente (ricordando di aggiungere una costante di integrazione):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ Xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ Xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Usando l'identità di de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # noi abbiamo

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

ma #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

e infine

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #