Come usi la regola della catena per differenziare y = (x ^ 3 + 4) ^ 5 / (3x ^ 4-2)?

Risposta:

#color (blu) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ ^ 6-48x 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #

Spiegazione:

# Y # è un quoziente sotto forma di #color (blu) (y = (u (x)) / (v (x))) #

La deferenziazione del quoziente è la seguente:

#color (blu) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

Cerchiamo di trovare # (U (x)) '# e # (V (x)) '#

#color (verde) ((u (x)) '=?) #

#U (x) # è un composto di due funzioni #f (x) # e #G (x) # dove:

#f (x) = x ^ 5 # e #G (x) = x ^ 3 + 4 #

Dobbiamo usare la regola della catena per trovare #color (verde) ((u (x)) ') #

#U (x) = f (g (x)) # poi

#color (verde) ((u (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

#f '(x) = 5x ^ 4 # poi

#f '(g (x)) = 5 (g (x)) ^ 4 #

#color (verde) (f '(g (x)) = 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (verde) ((g (x)) '= 3x ^ 2) #

Così,# (U (x)) '= 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4 * 3x ^ 2 #

#color (verde) ((u (x)) '= 15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (rosso) ((v (x)) '=?) #

#v (x) = 3x ^ 4-2 #

#color (rosso) ((v (x)) '= 12x ^ 3) #

Ora, sostituiamoci #color (verde) ((u (x)) '# e #color (rosso) ((v (x)) '# nel #color (blu) y '#

#color (blu) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#y '= (colore (verde) (15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) * (3x ^ 4-2) -colore (rosso) (12x ^ 3) (x ^ 3 + 4) ^ 5) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 15x ^ 2 (3x ^ 4-2) -12x ^ 3 (x ^ 3 + 4)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 45x ^ ^ 6-30x 2-12x ^ 6-48x ^ 3) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (45x ^ ^ 6-12x 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

Perciò, #color (blu) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ ^ 6-48x 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #