Qual è l'equazione della linea perpendicolare a y = -9 / 7x che passa attraverso (3,7)?

Ciao, ecco una "risposta piuttosto lunga" ma non aver paura! è solo logica, se sei in grado di farlo, sei in grado di governare il mondo, prometti! disegnalo su un foglio e tutto andrà bene (disegnalo senza assi non ne hai bisogno, è solo geometria)) cosa devi sapere: trigonometria di base, pythagore, determinante, coordinate polari e prodotto scalare

Spiegherò come funziona dietro la scena

Per prima cosa devi cercare due punti della linea

prendere #x = 2 # hai #y = -18 / 7 #

prendere #x = 1 # tu hai #y = -9 / 7 #

Ok, hai due punti #A = (2, -18 / 7) # e #B (1, -9/7) # quei punti sono sulla linea

Ora vuoi il vettore formato da quei punti

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

Chiamiamo il punto #(3,7)# # P #

Ok ora immagina la linea che vuoi che è perpendicolare alla nostra, si intersecano in un punto, chiamiamo questo punto # H # non sappiamo cosa sia # H # e vogliamo sapere.

conosciamo due cose:

#vec (AP) = vec (AH) + vec (HP) #

e # vec (HP) _ | _ vec (AB) #

aggiungi il determinante su entrambi i lati

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (AH), vec (AB)) + det (vec (HP), vec (AB)) #

Ora consideralo #det (vec (a), vec (b)) = a * b * sin (theta) #

dove #un# e # B # sono la norma e # # Theta l'angolo tra i due vettori

Ovviamente #det (vec (AH), vec (AB)) = 0 # perché #vec (AH) # e #vec (AB) # sono sulla stessa linea! così #theta = 0 # e #sin (0) = 0 #

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (HP), vec (AB)) #

Ora volevi una linea perpendicolare alla nostra così

#det (vec (HP), vec (AB)) = HP * AB * sin (pi / 2) = HP * AB #

Finalmente fai qualche calcolo

#det (vec (AP), vec (AB)) = HP * AB #

#det (vec (AP), vec (AB)) / (AB) = HP #

#vec (AP) = (3-2,7 + 18/7) = (1,67 / 7) #

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

#det (vec (AP), vec (AB)) = 76/7 #

#AB = sqrt ((- 1) ^ 2 + (9/7) ^ 2) = sqrt (130) / 7 #

#HP = (76/7) / (sqrt (130) / 7) = 76 / sqrt (130) #

Ok ora usiamo pythagore per avere # # AH

# (sqrt (4538) / 7) ^ 2 = (76 / sqrt (130)) ^ 2 + AH ^ 2 #

#AH = (277 sqrt (2/65)) / 7 #

Usa la trigonometria per ottenere l'angolo formato da #vec (AB) # e l'asse ha quindi l'angolo formato da #vec (AH) # e l'asse

Trovate #cos (theta) = -7 / sqrt (130) #

Trovate #sin (theta) = 9 / sqrt (130) #

#x = rcos (theta) #

#y = rsin (theta) #

Dove # R # è la norma così:

#x = -277 / 65 #

#y = 2493/455 #

#vec (AH) = (-277/65, 2493/455) #

#H = (-277/65 + 2, 2493/455 - 18/7) #

#H = (-147/65, 189/65) #

Ora che hai questo punto puoi dire "AAAAAAAAAAAAAH" perché hai finito presto

Ho solo bisogno di immaginare un altro punto #M = (x, y) # che può essere ovunque

#vec (HM) # e #vec (AB) # sono perpendicolari se e solo se #vec (HM) * vec (AB) = 0 #

È solo perché #vec (a) * vec (b) = a * b * cos (theta) # se sono perpendicolari #theta = pi / 2 # e #cos (theta) = 0 #

#vec (HM) = (x + 147/65), (y-189/65) #

#vec (HM) * vec (AB) = - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) #

# - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) = 0 # è la tua linea

Il punto è rosso # H #

Punto nero è # P #

La linea blu è #vec (AB) #

Puoi vedere le due linee