X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 ha una radice x = sqrt (2) + sqrt (3). Quali sono le altre tre radici e perché?

Risposta:

Le altre tre radici sono #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # e #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Per quanto riguarda il perché, lascia che ti racconti una storia …

Spiegazione:

Mr Rational vive nella città di Algebra.

Conosce tutti i numeri del modulo # M / n # dove # M # e # N # sono interi e #n! = 0 #.

È piuttosto felice di risolvere polinomi come # 3x + 8 = 0 # e # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, ma ci sono molti che lo confondono.

Anche un polinomio apparentemente semplice come # X ^ 2-2 = 0 # sembra insolubile.

Il suo ricco vicino, il signor Real, ha pietà di lui. "Ciò di cui hai bisogno è ciò che viene chiamato una radice quadrata di #2#. Ecco qua. "Con queste parole, Mr Real consegna un misterioso numero blu brillante chiamato # # R_2 a Mr Rational. Tutto quello che viene detto su questo numero è quello # R_2 ^ 2 = 2 #.

Mr Rational torna al suo studio e ha un gioco con questo misterioso # # R_2.

Dopo un po 'trova che può aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere i numeri della forma # a + b R_2 # dove #un# e # B # sono razionali e finiscono con numeri della stessa forma. Anche lui lo nota # X ^ 2-2 = 0 # ha un'altra soluzione, vale a dire # # -R_2.

Ora è in grado di risolvere non solo # X ^ 2-2 = 0 #, ma # X ^ 2 + 2x-1 = 0 # e molti altri.

Molti altri polinomi sfuggono ancora alla soluzione. Per esempio, # X ^ 2-3 = 0 #, ma Mr Real è felice di dargli un numero verde brillante chiamato # # R_3 quello risolve quello.

Rational trova presto che può esprimere tutti i numeri che può fare come # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, dove #un#, # B #, # C # e # D # sono razionali.

Un giorno il signor Rational ha un tentativo di risolvere # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Lo trova # X = R_2 + R_3 # è una soluzione.

Prima di cercare altre soluzioni, si imbatte nel suo vicino, il signor Real. Ringrazia il signor Real per il regalo di # # R_2 e # # R_3, ma ha una domanda su di loro. "Ho dimenticato di chiedere:", dice, "Sono positivi o negativi?". "Non pensavo che ti importasse.", Disse Mr Real. "Finché stai risolvendo polinomi con coefficienti razionali, non importa, le regole che hai trovato per aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere i tuoi nuovi numeri funzionano altrettanto bene con entrambi. chiamato # # R_2 è ciò che la maggior parte della gente chiama # -Sqrt (2) # e quello che hai chiamato # # R_3 è ciò che la maggior parte della gente chiama #sqrt (3) #'.

Quindi per i nuovi numeri del signor Rational della forma # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # non importa se # # R_2 e / o # # R_3 sono positivi o negativi dal punto di vista della risoluzione di polinomi con coefficienti razionali.