# # Q.1 Se # Alfa, beta # sono le radici dell'equazione # X ^ 2-2x + 3 = 0 # ottenere l'equazione di cui sono le radici # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # e # Beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #?
Risposta
data equazione # X ^ 2-2x + 3 = 0 #
# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #
Permettere # alpha = 1 + sqrt2i e beta = 1-sqrt2i #
Adesso molla
# gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 #
# => gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 3 alpha -1 + 2alpha-1 #
# => Gamma = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alpha #
# => Gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #
# => Gamma = + -2sqrt2i sqrt2i + 1 + 1 = sqrt2i #
E lascia
# Delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #
# => Delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta + 5 #
# => Delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => Delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => Delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #
Quindi l'equazione quadratica ha radici #gamma e delta # è
# X ^ 2 (gamma + delta) x + gammadelta = 0 #
# => X ^ 2 (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #
# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #
# # Q.2 Se una radice dell'equazione # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # essere il quadrato dell'altro, Prova che # B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3ABC #
Lascia che sia una radice #alfa# allora l'altra radice sarà # Alpha ^ 2 #
Così # Alpha ^ 2 + alpha = -b / a #
e
# Alpha ^ 3 = c / a #
# => Alpha ^ 3-1 = c / a-1 #
# => (Alfa-1) (alpha ^ 2 + alpha + 1) = C / A-1 = (c-a) / a #
# => (Alfa-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #
# => (Alfa-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #
# => (Alfa-1) = (c-a) / (a-b) #
# => = Alfa (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #
Adesso #alpha # essendo una delle radici dell'equazione quadratica # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # possiamo scrivere
# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #
# => A ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #
# => A (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #
# => Ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #
# => B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3ABC #
dimostrato
Alternativa
# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #
# => Aalpha + b + c / alpha = 0 #
# => A (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #
# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #
# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #
# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #
# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3CA (-b) = (- b) ^ 3 #
# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3ABC #
