Come posso risolvere questa equazione differenziale?

Risposta:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Spiegazione:

Questo è un equazione differenziale separabile, il che significa semplicemente che è possibile raggruppare il #X# termini & # Y # termini su lati opposti dell'equazione. Quindi, questo è ciò che faremo prima:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Ora, vogliamo ottenere dy sul lato con le y, e dx sul lato con le x. Dovremo fare un po 'di ri-organizzazione:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Ora, integriamo entrambi i lati:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Facciamo ogni integrale a turno:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Per prima cosa, dividiamo questo in 2 integrali separati per la regola addizione / sottrazione:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Questi sembrano un po 'fastidiosi. Tuttavia, possiamo dare loro un po 'di makeover per renderli più belli (e molto più facili da risolvere):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Entrambi questi sono ora semplici # U #integrali di sostituzione. Se si imposta #u = -x # e # # -3x rispettivamente, otterrai la risposta come:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

#int y / e ^ (- y) dy #

#Se rendiamo positivo l'esponente negativo, otteniamo:

#int (ye ^ y) dy #

Dovremo utilizzare l'integrazione per parti per questo. La formula è:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Stiamo andando a impostare #u = y #, e #dv = e ^ y dy #. Il motivo è che vogliamo un facile # Du # per quell'integrazione finale, e anche perché # E ^ y # è molto facile da integrare.

Così:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Ora, ci limitiamo a collegare e chug:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Rimettendo tutto in:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Sbarazzarsi di esponenti negativi:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

E questa è una risposta definitiva abbastanza decente. Se volevi risolvere per # Y #, si potrebbe, e si finirebbe con

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Si noti che non abbiamo un # + C # sulla LHS di questa equazione. La ragione di ciò è che anche se l'avessimo messo, alla fine lo sottrarremmo dall'RHS, e una costante arbitraria meno una costante arbitraria è ancora (aspettatelo) una costante arbitraria. Quindi, per questi problemi finché hai il tuo # + C # da qualsiasi parte dell'equazione, starai bene.

Spero che questo abbia aiutato:)

Ora non posso pubblicare un commento. La casella dei commenti è stata ridotta a una singola riga (scorrevole) ma manca il pulsante "post comment". Come faccio a fare questa domanda, quindi posso postare questa osservazione?

Ho cercato di includere il mio screenshot nella mia domanda originale modificando la domanda, ma ho ottenuto solo una casella di testo a 2 righe. Quindi qui è come se fosse una risposta

Come risolvere l'equazione differenziale separabile e trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y (-4) = 3?

Soluzione generale: colore (rosso) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" Particolare soluzione: colore (blu) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) Dall'equazione differenziale data y '(x) = sqrt (4y (x) +13) prendi nota, che y' (x) = dy / dx ey (x) = y, quindi dy / dx = sqrt (4y + 13) dividere entrambi i lati di sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13 )) = 1 Moltiplica entrambi i lati di dx dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 dy / sqrt (4y + 13) = dx traspose dx sul lato sinistro dy /

Risolvi l'equazione differenziale: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Spiega che tipo di equazione differenziale è questa e quando può sorgere?

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y meglio scritto come (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangolo che mostra che questa è un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine lineare ha un'equazione caratteristica r ^ 2 -8 r + 16 = 0 che può essere risolta come segue (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 questa è una radice ripetuta quindi la soluzione generale è in forma y = (Ax + B) e ^ (4x) non è oscillante e modella un qualche tipo di comportamento esponenziale che dipende in realtà dal valore di A e B. Si potrebbe pensare che potrebbe essere un ten