Qual è l'estensione di una matrice? + Esempio

Risposta:

Vedi sotto

Spiegazione:

Un insieme di vettori abbraccia uno spazio se ogni altro vettore nello spazio può essere scritto come una combinazione lineare dell'insieme di spanning. Ma per arrivare al significato di questo dobbiamo guardare la matrice come fatta di vettori di colonne.

Ecco un esempio in #mathcal R ^ 2 #:

Lascia che la nostra matrice #M = ((1,2), (3,5)) #

Questo ha i vettori delle colonne: #((1),(3))# e #((2),(5))#, che sono linearmente indipendenti, quindi la matrice è non singolare cioè invertibile ecc ecc

Diciamo che vogliamo dimostrare che il punto generalizzato # (X, y) # si trova all'interno di questi 2 vettori, vale a dire che la matrice si estende a tutti #mathcal R ^ 2 #, quindi cerchiamo di risolvere questo:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

O:

# ((1,2), (3,5)) ((alpha), (beta)) = ((x), (y)) #

È possibile risolvere questo è un numero qualsiasi di modi, ad esempio ridurre la riga o invertire M ….. per ottenere:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Quindi diciamo che vogliamo verificarlo #(2,3)# è nell'arco di questa matrice, M, applichiamo il risultato che abbiamo appena ottenuto:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Doppio controllo:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Prendi in considerazione un'altra matrice diversa: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Questo è singolare perché i suoi vettori di colonna, #((1),(2))# e #((2),(4))#, dipendono linearmente. Questa matrice si estende solo lungo la direzione #((1),(2))#.