Cos'è una matrice ortogonale? + Esempio

Risposta:

Essenzialmente un ortogonale #n xx n # la matrice rappresenta una combinazione di rotazione e possibile riflessione sull'origine in # N # spazio dimensionale.

Conserva le distanze tra i punti.

Spiegazione:

Una matrice ortogonale è una matrice il cui inverso è uguale alla sua trasposizione.

Un tipico # 2 xx 2 # matrice ortogonale sarebbe:

#R_theta = ((cos theta, sin theta), (-sin theta, cos theta)) #

per alcuni #theta in RR #

Le righe di una matrice ortogonale formano un insieme ortogonale di vettori unitari. Per esempio, # (cos theta, sin theta) # e # (- sin theta, cos theta) # sono ortogonali tra loro e di lunghezza #1#. Se chiamiamo il precedente vettore # # Veca e il secondo vettore # # VecB, poi:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(quindi, ortogonale)

# || Veca || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(quindi, vettori unitari)

Le colonne formano anche un insieme ortogonale di vettori unitari.

Il determinante di una matrice ortogonale sarà sempre #+-1#. Se è #+1# allora la matrice è chiamata a matrice ortogonale speciale.