Qual è la radice quadrata di 90?

Risposta:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Spiegazione:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # è un numero irrazionale da qualche parte #sqrt (81) = 9 # e #sqrt (100) = 10 #.

In effetti, da allora #90 = 9 * 10# è della forma # n (n + 1) # ha una regolare espansione della frazione continua della forma # N; bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…)))))) #

Un modo divertente per trovare approssimazioni razionali consiste nell'utilizzare una sequenza intera definita da una ricorrenza lineare.

Considera l'equazione quadratica con zeri # 19 + 2sqrt (90) # e # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (bianco) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (bianco) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (bianco) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Così:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Usalo per ricavare una sequenza:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

I primi termini di questa sequenza sono:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Il rapporto tra i termini successivi tenderà a # 19 + 2sqrt (90) #

Quindi:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #