Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Risposta:

Punto di sella all'origine.

Spiegazione:

Abbiamo:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

E così deriviamo le derivate parziali. Ricorda quando differenziamo parzialmente che differenziamo la variabile in questione mentre trattiamo le altre variabili come costanti. E così:

# (partial f) / (partial x) = 2xy-y ^ 2 # e # (partial f) / (partial y) = x ^ 2-2yx #

A un estremo o punti di sella abbiamo:

# (partial f) / (partial x) = 0 # e # (parziale f) / (parziale y) = 0 # contemporaneamente:

cioè una soluzione simultanea di:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Quindi c'è un solo punto critico all'origine #(0,0)#. Per stabilire la natura del punto critico, sono necessari gli analisti della serie Taylor multi-variabile e i seguenti risultati dei test:

# Delta = (parziale ^ 2 f) / (parziale x ^ 2) (parziale ^ 2 f) / (parziale y ^ 2) - {(parziale ^ 2 f) / (parziale x parziale y)} ^ 2 <0 => # punto di sella

Quindi calcoliamo i secondi derivati parziali:

# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = 2y #;# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = -2x # e # (parziale ^ 2 f) / (parziale x parziale y) = 2x-2y #

E così quando # x = 0, y = 0 # noi abbiamo:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Il che significa che il test standard per la sella è inclusivo e sono necessarie ulteriori analisi. (Ciò implicherebbe tipicamente guardando i segni della funzione attraverso varie sezioni, o guardando il terzo test derivativo parziale che va oltre lo scopo di questa domanda!).

Possiamo anche guardare la trama 3D e trarre una rapida conclusione che il punto critico sembra corrispondere a un punto di sella: