Qual è l'area di un trapezio le cui diagonali sono ciascuna 30 e di altezza 18?

Risposta:

#S_ (trapezio) = 432 #

Spiegazione:

Considera la Figura 1

In un ABCD trapezoidale che soddisfa le condizioni del problema (dove # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #e AB è parallelo al CD) notiamo, applicando il Teorema degli angoli interni alternativi, quello # = Alfa delta # e # Beta = gamma #.

Se disegniamo due linee perpendicolari al segmento AB, formando segmenti AF e BG, possiamo vederlo #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (perché entrambi i triangoli sono quelli giusti e sappiamo che l'ipotenusa di uno è uguale all'ipotenusa dell'altro e che una gamba di un triangolo è uguale a una gamba dell'altro triangolo) quindi # = Alpha beta # => # Gamma = delta #.

Da # Gamma = delta # possiamo vederlo #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # e # AD = BC #, quindi il trapezio è isoscele.

Possiamo anche vederlo #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (o # X = y # in figura 2).

Considera la Figura 2

Possiamo vedere che il trapezio in figura 2 ha una forma diversa da quella in figura 1, ma entrambi soddisfano le condizioni del problema. Ho presentato queste due figure per dimostrare che l'informazione del problema non consente di determinare le dimensioni della base 1 (# M #) e della base 2 (# N #) del trapezio, ma vedremo che non c'è bisogno di più informazioni per calcolare l'area del trapezio.

Nel #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (X + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Da # n = m + x + y # e # X = y # => # n = m + 2 * x # e # M + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # M + n = 48 #

#S_ (trapezio) = (+ base_1 base_2) / 2 * height = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Nota: potremmo provare a determinare m e n coniugando queste due equazioni:

Nel #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

Nel #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # perché #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Ma risolvendo questo sistema di due equazioni, lo scopriremmo solo m e il lato ANNO DOMINI sono indeterminati