Risolvi x²-3 <3. Sembra semplice ma non ho potuto ottenere la risposta giusta. La risposta è (- 5, -1) U (1, 5). Come risolvere questa disuguaglianza?

Risposta:

La soluzione è che la disuguaglianza dovrebbe essere #abs (x ^ 2-3) <colore (rosso) (2) #

Spiegazione:

Come al solito con valori assoluti, suddivisi in casi:

Caso 1: # x ^ 2 - 3 <0 #

Se # x ^ 2 - 3 <0 # poi #abs (x ^ 2-3) = - (x ^ 2-3) = -x ^ 2 + 3 #

e la nostra (corretta) disuguaglianza diventa:

# -x ^ 2 + 3 <2 #

Inserisci # X ^ 2-2 # ad entrambi i lati per ottenere # 1 <x ^ 2 #

Così #x in (-oo, -1) uu (1, oo) #

Dalle condizioni del caso che abbiamo

# x ^ 2 <3 #, così #x in (-sqrt (3), sqrt (3)) #

Quindi:

#x in (-sqrt (3), sqrt (3)) nn ((-oo, -1) uu (1, oo)) #

# = (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) #

Caso 2: # x ^ 2 - 3> = 0 #

Se # x ^ 2 - 3> = 0 # poi #abs (x ^ 2-3) = x ^ 2 + 3 # e la nostra (corretta) disuguaglianza diventa:

# x ^ 2-3 <2 #

Inserisci #3# ad entrambi i lati per ottenere:

# x ^ 2 <5 #, così #x in (-sqrt (5), sqrt (5)) #

Dalle condizioni del caso che abbiamo

# x ^ 2> = 3 #, così #x in (-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo) #

Quindi:

#x in ((-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo)) nn (-sqrt (5), sqrt (5)) #

# = (-sqrt (5), -sqrt (3) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

Combinato:

Mettendo il caso 1 e il caso 2 otteniamo:

#x in (-sqrt (5), -sqrt (3) uu (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

# = (- sqrt (5), -1) uu (1, sqrt (5)) #