Innanzitutto imposta il problema.
Subito i due
La soluzione a cui è;
dove
Questo non dovrebbe essere una sorpresa, considerando che i derivati e gli integrali sono opposti. Pertanto, prendere l'integrale di una derivata dovrebbe restituire la funzione originale
Qual è l'integrale di (ln (xe ^ x)) / x?
Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Ci viene dato: int ln (xe ^ x) / (x) dx Utilizzo ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Utilizzo ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x ) + xln (e)) / (x) dx Utilizzo di ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Suddivisione della frazione (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx Separazione degli integrali sommati: = int ln (x) / xdx + int dx Il secondo integrale è semplicemente x + C, dove C è una costante arbitraria. Il primo integrale, usiamo la sostituzione u: Sia u equiv ln (x), quindi du = 1 / x dx Usando la sostituzione u: = int udu + x +
Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?
Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione u = sqrt (2x-1). La derivata è quindi (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è uguale a moltiplicare per il solo denominatore) per integrare rispetto a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere x ^ 2 in termini d
Qual è l'integrale di int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?
1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Per prima cosa sostituiamo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Esegui un seconda sostituzione: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Dividi usando le frazioni parziali: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Ora