Risolvi la disequazione a ^ (2x) -a ^ (2) a ^ (x) + a ^ (x) -a ^ (2) <0 per tutti a RR_ + senza {1}?

Risposta:

# "Vogliamo risolvere la disuguaglianza:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad a ^ {2 x} - a ^ 2 a ^ x + a ^ x - a ^ 2 <0; qquad qquad a in RR ^ {+} - {0 }. #

# qquad qquad qquad qquad qquad (a ^ {x}) ^ 2 - a ^ 2 a ^ x + a ^ x - a ^ 2 <0; #

# "Nota: l'espressione a sinistra può essere fattorizzata !!!" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad (a ^ x - a ^ 2) (a ^ x + 1) <0; #

# "La quantità" a ^ x "è sempre positiva, poiché" a "è positivo, ed è" #

# "utilizzato come base di un'espressione esponenziale:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (a ^ x - a ^ 2) underbrace {(a ^ x + 1)} _ {"sempre postivo"} <0; #

# "Il prodotto dei due fattori sul lato sinistro del" #

# "sopra la disuguaglianza è negativo, il fattore giusto è sempre" #

# "positivo, quindi il fattore di sinistra deve essere sempre negativo." #

# qquad:. qquad qquad qquad qquad qquad a ^ x - a ^ 2 <0; #

# qquad:. qquad qquad qquad qquad qquad qquad a ^ x <a ^ 2; #

# qquad:. qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad x <2. #

# "Quindi la serie di soluzioni della disuguaglianza data, in notazione intervallo," #

# "è:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad "set di soluzioni" = (-oo, 2). #