Come espandere in serie Maclaurin questo? f (x) = ^ int_0 xlog (1-t) / TDT

Risposta:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n 1) ^ 2 #

Visual: guarda questo grafico

Spiegazione:

Chiaramente non possiamo valutare questo integrale poiché utilizza le normali tecniche di integrazione che abbiamo imparato. Tuttavia, poiché è un integrale definito, possiamo utilizzare una serie MacLaurin e fare ciò che viene chiamato integrazione termine per termine.

Dovremo trovare la serie MacLaurin. Dal momento che non vogliamo trovare l'ennesima derivata di quella funzione, dovremo provare a inserirla in una delle serie MacLaurin che già conosciamo.

Innanzitutto, non ci piace # Log #; vogliamo farlo a # Ln #. Per fare questo, possiamo semplicemente utilizzare il cambiamento della formula di base:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Quindi abbiamo:

# Int_0 ^ XLN (1-t) / (TLN (10)) dt #

Perché lo facciamo? Bene, ora notalo # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Perché è così speciale? Bene, # 1 / (1-x) # è una delle nostre serie MacLaurin comunemente usate:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…per tutti #X# sopra #(-1, 1#

Quindi, possiamo usare questa relazione a nostro vantaggio e sostituirla #ln (1-t) # con # Int-1 / (1-t) dt #, che ci consente di sostituirlo # Ln # termine con una serie MacLaurin. Mettendo insieme questo dà:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Valutare l'integrale:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Annullare il # T # termine al denominatore:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

E ora, prendiamo l'integrale definito abbiamo iniziato il problema con:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Nota: Osserva come ora non dobbiamo preoccuparci di dividere per zero in questo problema, che è un problema che avremmo avuto nell'integrale originale a causa del # T # termine al denominatore. Poiché questo è stato annullato nel passaggio precedente, mostra che la discontinuità è rimovibile, il che funziona bene per noi.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # valutato da #0# a #X#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Assicurati di capire, tuttavia, che questa serie è valida solo nell'intervallo #(1, 1#, dal momento che la serie MacLaurin che abbiamo usato sopra è solo convergente su questo intervallo. Dai un'occhiata a questo grafico che ho fatto per avere una migliore idea di come sia.

Spero che questo abbia aiutato:)