Risposta:
Utilizzare la generalizzazione della formula binomiale per numeri complessi.
Spiegazione:
C'è una generalizzazione della formula binomiale ai numeri complessi.
La formula generale della serie binomiale sembra essere
Questa è una serie di potenze così ovviamente, se vogliamo avere delle probabilità che ciò non diverga, dobbiamo impostare
Non ho intenzione di dimostrare che la formula è vera, ma non è troppo difficile, devi solo vedere che la complessa funzione definita da
Come usi la serie binomiale per espandere (5 + x) ^ 4?
(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 L'espansione della serie binomiale per (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 è data da: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Quindi, abbiamo: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0 * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1 * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2 * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4
Come usi il Teorema Binomiale per espandere (x + 1) ^ 4?
X ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 Il teorema binomiale afferma: (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 so qui, a = x eb = 1 Otteniamo: (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 (1) ^ 2 + 4x (1) ^ 3 + (1) ^ 4 (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1
Come usi la serie binomiale per espandere sqrt (z ^ 2-1)?
Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Mi piacerebbe un doppio controllo perché raramente come studente di fisica andare oltre (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx per x piccoli quindi sono un po 'arrugginito. La serie binomiale è un caso specializzato del teorema binomiale che afferma che (1 + x) ^ n = somma_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Con ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Quello che abbiamo è (z ^ 2-1) ^ (1/2) , questa non è la forma corretta. Per rettificare questo, ricorda che i ^ 2 = -1 così abbiamo: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) Questo &