Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? E qual è la somma in x = 3?

$Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? E qual è la somma in x = 3?$

Risposta:

# - oo, -4 "U" 5, oo "è l'intervallo di convergenza per x" #

# "x = 3 non è nell'intervallo di convergenza, quindi somma per x = 3 è" oo #

Spiegazione:

# "Tratta la somma come sarebbe una serie geometrica sostituendo" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

#"Poi abbiamo"#

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "per" | z | <1 #

# "Quindi l'intervallo di convergenza è" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativo)" #

# "Caso positivo:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 e x> 5 #

# => x> 5 #

# "Caso negativo:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 e x <5 #

# => x <-4 #

# "Seconda parte:" x = 3 => z = 2> 1 => "sum is" oo #

Come si usa il test integrale per determinare la convergenza o la divergenza della serie: somma n e ^ -n da n = 1 a infinito?

Prendi l'integrale int_1 ^ ooxe ^ -xdx, che è finito, e nota che limita sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Quindi è convergente, quindi anche sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). L'affermazione formale del test integrale afferma che se fin [0, oo) rightarrowRR è una funzione decrescente monotona che non è negativa. Quindi la somma sum_ (n = 0) ^ oof (n) è convergente se e solo se "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx è finito. (Tau, Terence, Analisi I, seconda edizione, Hindustan book agency, 2009). Questa affermazione può sembrare un po 'tecnica, ma l'idea è la seguent

Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Vedi sotto. Usando l'identità polinomiale (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) abbiamo per abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) quindi, per x ne k pi, k in ZZ abbiamo sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Possiamo wee quella sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n è una serie geometrica con rapporto r = 1 / (x (1-x)). Ora sappiamo che le serie geometriche convergono quando il valore assoluto del rapporto è inferiore a 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Quindi dobbiamo risolvere questa disuguaglianza: 1 / (x (1-x)) <1 e 1 / (x (1-x))> -1 Iniziamo con il primo: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Possiamo facilmente dimostrare che il numeratore è sempre positivo e il denominatore è neget