Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Risposta:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Spiegazione:

Possiamo farcela #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # è una serie geometrica con rapporto # R = 1 / (x (1-x)) #.

Ora sappiamo che le serie geometriche convergono quando il valore assoluto del rapporto è inferiore a 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Quindi dobbiamo risolvere questa disuguaglianza:

# 1 / (x (1-x)) <1 e 1 / (x (1-x))> -1 #

Iniziamo con il primo:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Possiamo facilmente dimostrare che il numeratore è sempre positivo e il denominatore è negetive nell'intervallo #x in (-oo, 0) U (1, oo) #.

Quindi questa è la soluzione per la nostra prima disuguaglianza.

Vediamo il secondo:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Questa disuguaglianza ha risolto l'intervallo:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Quindi le nostre serie convergono dove questo a intervalli sono entrambi veri.

Quindi il nostro intervallo di convergenza è:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #