Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Utilizzando l'identità polinomiale

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

abbiamo per #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

quindi, per #x ne k pi, k in ZZ # noi abbiamo

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Mostra che cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Sono un po 'confuso se creo Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) e cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), diventerà negativo come cos (180 ° -theta) = - costheta in il secondo quadrante. Come faccio a dimostrare la domanda?

Vedi sotto. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? E qual è la somma in x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["è l'intervallo di convergenza per x" "x = 3 non è nell'intervallo di convergenza quindi la somma per x = 3 è" oo "Tratta la somma come sarebbe si tratta di una serie geometrica sostituendo "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Quindi abbiamo" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "per" | z | <1 "Quindi l'intervallo di convergenza è" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 nega

Qual è l'intervallo di convergenza di sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Possiamo wee quella sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n è una serie geometrica con rapporto r = 1 / (x (1-x)). Ora sappiamo che le serie geometriche convergono quando il valore assoluto del rapporto è inferiore a 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Quindi dobbiamo risolvere questa disuguaglianza: 1 / (x (1-x)) <1 e 1 / (x (1-x))> -1 Iniziamo con il primo: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Possiamo facilmente dimostrare che il numeratore è sempre positivo e il denominatore è neget