Quando usi la formula di Heron per trovare l'area?

Puoi usarlo ogni volta che conosci le lunghezze di tutti e tre i lati di un triangolo.

Spero che questo sia stato utile.

Risposta:

La formula di Heron è quasi sempre la formula sbagliata da usare; prova il Teorema di Archimede per un triangolo con area #UN# e lati # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16 s (s-a) (s-b) (s-c) # dove # s = 1/2 (a + b + c) #

Quest'ultimo è velato sottilmente velato.

Spiegazione:

Eroe di Alessandria ha scritto nel primo secolo d.C. Perché continuiamo a torturare gli studenti con i suoi risultati quando ci sono equivalenti moderni molto più belli di cui non ho idea.

La formula di Heron per l'area #UN# di un triangolo con i lati # A, b, c # è

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # dove # s = 1/2 (a + b + c) # è il semiperimetro.

Non c'è dubbio che questa formula è fantastica. Ma è scomodo da usare a causa della frazione e, se partiamo da coordinate, le quattro radici quadrate.

Facciamo solo i conti. Abbiamo quadrato ed eliminare #S# che serve principalmente a nascondere un #16# e una fattorizzazione importante. Potresti provare prima tu stesso.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Questo è già molto meglio della forma di Heron. Salviamo la frazione fino alla fine e non ci si interroga più sul significato del semiperimetro.

Il caso degenerato sta dicendo. Quando uno di quei fattori con segno meno è zero, è quando due lati si sommano esattamente dall'altra parte. Quelle sono distanze tra tre punti collineari, il triangolo degenerato, e otteniamo un'area zero. Ha senso.

Il # A + b + c # il fattore è interessante. Quello che ci dice è che questa formula funziona ancora se usiamo spostamenti, lunghezze firmate, anziché tutte positive.

La formula è ancora scomoda per usare le coordinate date. Facciamolo moltiplicare; potresti volerlo provare tu stesso;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Quella forma dipende solo dai quadrati delle lunghezze. È chiaramente completamente simmetrico. Possiamo andare oltre Heron ora e dire se il lunghezze quadrate sono razionali, così come l'area quadrata.

Ma possiamo fare meglio se notiamo

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

sottraendo,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Questa è la forma più bella.

C'è una forma dall'aspetto asimmetrico che di solito è la più utile. Noi notiamo

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Aggiungere questo a

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Questa è la forma più utile. Ci sono davvero tre modi per scriverlo, scambiando i lati.

Collettivamente questi sono chiamati il Teorema di Archimede, dalla Razionale Trigonometria di NJ Wildberger.

Quando vengono fornite le coordinate 2D, spesso la Formula merletto è il percorso più veloce verso l'area, ma la salverò per altri post.